Google
Câu hỏi: Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất đó, hãy so sánh các số \({2^{3000}}\) và \({3^{2000}}\).
Lời giải chi tiết
- Các tính chất của bất đẳng thức
TC1. (Tính chất bắc cầu): \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\)
TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\)
TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều) \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\)
TC4. (Quy tắc nhân): \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\)
\(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\)
TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức): \(\left\{ \matrix{0 < A < B \hfill \cr 0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\)
TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)
Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có:
\(A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\)
\(A < B \Leftrightarrow \root n \of A < \root n \of B \).
- Áp dụng tính chất:
Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có: \(A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\)
\(\eqalign{
& {2^{3000}} = {\left({{2^3}} \right)^{1000}} = {8^{1000}} \cr
& {3^{2000}} = {\left({{3^2}} \right)^{1000}} = {9^{1000}} \cr} \)
Vì \(8<9\) nên \({8^{1000}}<{9^{1000}}\)
Do đó: \({2^{3000}} < {3^{2000}}.\)
- Các tính chất của bất đẳng thức
TC1. (Tính chất bắc cầu): \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\)
TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\)
TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều) \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\)
TC4. (Quy tắc nhân): \(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\)
\(\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\)
TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức): \(\left\{ \matrix{0 < A < B \hfill \cr 0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\)
TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)
Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có:
\(A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\)
\(A < B \Leftrightarrow \root n \of A < \root n \of B \).
- Áp dụng tính chất:
Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có: \(A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\)
\(\eqalign{
& {2^{3000}} = {\left({{2^3}} \right)^{1000}} = {8^{1000}} \cr
& {3^{2000}} = {\left({{3^2}} \right)^{1000}} = {9^{1000}} \cr} \)
Vì \(8<9\) nên \({8^{1000}}<{9^{1000}}\)
Do đó: \({2^{3000}} < {3^{2000}}.\)