Bài 4 trang 160 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức:

Câu a​

\(5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x – 1 > 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$x-1>0 \Leftrightarrow x>1$
$\Rightarrow x^{4}>x^{3}>x^{2}>x>1$
$\Rightarrow x^{4}+x^{4}+x^{4}+x^{4}+x^{4}$
$>x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
$>1+1+1+1+1=5$
$\Rightarrow 5 x^{4}>x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1>5$
$\Rightarrow 5 x^{4}(x-1)>\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)(x-1)>5(x-1)$
$\Rightarrow 5 x^{4}(x-1)>x^{5}-1>5(x-1)$
Vì
\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left({{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\\ = {x^5} - {x^4} + {x^4} - {x^3} + {x^3} - {x^2} \\+ {x^2} - x + x - 1\\ = {x^5} - 1\end{array}\)

Câu b​

\(x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0\), biết \(x + y ≥ 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{x^5} + {y^5} - {x^4}y - x{y^4}\\
= \left({{x^5} - {x^4}y} \right) - \left({x{y^4} - {y^5}} \right)\\
= {x^4}\left({x - y} \right) - {y^4}\left({x - y} \right)\\
= \left({x - y} \right)\left({{x^4} - {y^4}} \right)\\
= \left({x - y} \right)\left({{x^2} - {y^2}} \right)\left({{x^2} + {y^2}} \right)\\
= \left({x - y} \right)\left({x - y} \right)\left({x + y} \right)\left({{x^2} + {y^2}} \right)\\
= {\left({x - y} \right)^2}\left({x + y} \right)\left({{x^2} + {y^2}} \right)
\end{array}\)
Vì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left({x - y} \right)^2} \ge 0\\
x + y \ge 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 0
\end{array} \right.\)
nên \({\left( {x - y} \right)^2}\left({x + y} \right)\left({{x^2} + {y^2}} \right) \ge 0\)
Hay ta có đpcm.

Câu c​

\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\), biết rằng \(a, b, c\) cùng lớn hơn \(- \dfrac{1}{4}\) và \(a + b + c = 1.\)
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
Cách khác:
Với
\(a, b, c > - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 1 > 0\\
4b + 1 > 0\\
4c + 1 > 0
\end{array} \right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
\(\sqrt {4a + 1} = \sqrt {\left( {4a + 1} \right). 1} \)\(\le \dfrac{{\left( {4a + 1} \right) + 1}}{2} = 2a + 1\)
\(\sqrt {4b + 1} = \sqrt {\left( {4b + 1} \right). 1} \)\(\le \dfrac{{\left( {4b + 1} \right) + 1}}{2} = 2b + 1\)
\(\sqrt {4c + 1} = \sqrt {\left( {4c + 1} \right). 1} \)\(\le \dfrac{{\left( {4c + 1} \right) + 1}}{2} = 2c + 1\)
Cộng vế với vế các bđt trên ta được:
\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \) \(\le \left( {2a + 1} \right) + \left({2b + 1} \right) + \left({2c + 1} \right)\)
\(= 2a + 2b + 2c + 3\) \(= 2\left( {a + b + c} \right) + 3\) \(= 2.1 + 3 = 5\)
\(\Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\) (không thỏa mãn \(a + b + c = 1\))
Vậy dấu “=” không xảy ra hay \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\).
Suy ra ĐPCM.
Cách khác:
$(\sqrt{4 a+1}+\sqrt{4 b+1}+\sqrt{4 c+1})^{2}$
$=4(a+b+c)+3+2 \sqrt{4 a+1} \sqrt{4 b+1}+2 \sqrt{4 a+1} \sqrt{4 c+1}+2 \sqrt{4 b+1} \sqrt{4 c+1}$
$\leq 4(a+b+c)+3+(4 a+1)+(4 b+1)+(4 a+1)+(4 c+1)+(4 b+1)+(4 c+1)$
$\leq 12(a+b+c)+9 \leq 21 \leq 25$
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\) (không thỏa mãn \(a + b + c = 1\))
Vậy dấu “=” không xảy ra hay \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\).
Suy ra ĐPCM.