Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

Câu a​

\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\);
Phương pháp giải:
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết:
Xét: \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\)
Dựng hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow a , \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b .\)

Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)
Lại có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \) \(= \left| {\overrightarrow {AB} } \right| + \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = AB + BC\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)\(\Leftrightarrow AC = AB + BC\)
\( \Leftrightarrow A, B, C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(A, C\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng
Hay \(\overrightarrow a , \overrightarrow b \) cùng hướng.
Vậy \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\) khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng hướng.

Câu b​

\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\).
Phương pháp giải:
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết:
Xét \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.\)
Tương tự câu a ta có: \( \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)
Ta có: \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \)\(\Leftrightarrow AC = DB.\)
Khi đó hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow AB \perp BC\) hay \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.\)