Google
Câu hỏi: Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AM > MB.\) Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}- \overrightarrow{MB}.\)
Phương pháp giải
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Trên đoạn thẳng \(AM\) ta lấy điểm \(M'\) để AM'=BM.
Ta thấy, AM'=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MB}\)
Như vậy \(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MM'}\) (quy tắc 3 điểm)
Vậy \(\overrightarrow{MM'}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) .
Ta lại có \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA}+ (- \overrightarrow{MB})\)
\(= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)
\(= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)
Vậy \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}.\)
Cách khác:
Trên đoạn MA, lấy điểm M'' sao cho MM'' = MB.
Ta có: MM''=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {MM''} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên:
\(\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MM''}=\overrightarrow {M''M} \)
Do đó:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M''M} \) \(= \overrightarrow {M''M} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {M''A} \).
\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \) (quy tắc trừ).
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Trên đoạn thẳng \(AM\) ta lấy điểm \(M'\) để AM'=BM.
Ta thấy, AM'=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MB}\)
Như vậy \(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MM'}\) (quy tắc 3 điểm)
Vậy \(\overrightarrow{MM'}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) .
Ta lại có \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA}+ (- \overrightarrow{MB})\)
\(= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)
\(= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)
Vậy \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}.\)
Cách khác:
Trên đoạn MA, lấy điểm M'' sao cho MM'' = MB.
Ta có: MM''=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {MM''} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên:
\(\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MM''}=\overrightarrow {M''M} \)
Do đó:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M''M} \) \(= \overrightarrow {M''M} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {M''A} \).
\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \) (quy tắc trừ).