Lý thuyết tổng và hiệu của hai vectơ

Câu hỏi: 1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(A\) tùy ý, vẽ \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{b}\). Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
\(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\).
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì
\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\).

3. Tính chất của tổng các vectơ
- Tính chất giao hoán
\(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) = \(\overrightarrow{b}\) + \(\overrightarrow{a}\)
- Tính chất kết hợp
(\(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) ) + \(\overrightarrow{c}\) = \(\overrightarrow{a}\) + (\(\overrightarrow{b}\) +\(\overrightarrow{c}\))
- Tính chất của \(\overrightarrow{0}\):
\(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{0}\) = \(\overrightarrow{0}\) + \(\overrightarrow{a}\) \(=\overrightarrow{a}\)
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ \(\overrightarrow{a}\) được gọi là vec tơ đối của vec tơ \(\overrightarrow{a}\), kí hiệu \(-\overrightarrow{a}\).
Vec tơ đối của \(\overrightarrow{0}\) là vectơ \(\overrightarrow{0}\).
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\). Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu \(\overrightarrow{a}\)- \(\overrightarrow{b}\) là vectơ \(\overrightarrow{a}\) + (-\(\overrightarrow{b}\))
\(\overrightarrow{a}\)- \(\overrightarrow{b}\) = \(\overrightarrow{a}\) + (-\(\overrightarrow{b}\)).
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{AC}\) (1)
\(\overrightarrow{AB}\) - \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{CB}\) (2)
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.
5. Áp dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng
⇔ \(\overrightarrow{IA}\) +\(\overrightarrow{IB}\) = \(\overrightarrow{0}\)
b) Trọng tâm của tam giác:
\(G\) là trọng tâm của tam giác ∆ABC
⇔ \(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\)+\(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{0}\)