Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}.\)
Phương pháp giải
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Ta xét tổng:
\((\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS})+ ( \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}) \)
\(=\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)
\(\begin{array}{l}
= \left({\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right) + \left({\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right) + \left({\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right)\\
= \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\
= \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR}
\end{array}\)
\(= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)
Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:
\(\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)\(= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}\)\(= \overrightarrow{0}.\) (đpcm)
Cách khác:
Ta có:
AJIB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự như vậy:
BCPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)
CARS là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \)
Do đó:
$\overrightarrow{\mathrm{RJ}}+\overrightarrow{\mathrm{IQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}$
$=(\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{AJ}})+(\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}})+(\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}})$
$=(\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}})+(\overrightarrow{\mathrm{AJ}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})+(\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$
$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(+) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\(+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Ta xét tổng:
\((\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS})+ ( \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}) \)
\(=\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)
\(\begin{array}{l}
= \left({\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right) + \left({\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right) + \left({\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right)\\
= \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\
= \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR}
\end{array}\)
\(= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)
Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:
\(\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)\(= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}\)\(= \overrightarrow{0}.\) (đpcm)
Cách khác:
Ta có:
AJIB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự như vậy:
BCPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)
CARS là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \)
Do đó:
$\overrightarrow{\mathrm{RJ}}+\overrightarrow{\mathrm{IQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}$
$=(\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{AJ}})+(\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}})+(\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}})$
$=(\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}})+(\overrightarrow{\mathrm{AJ}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})+(\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$
$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$