Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình:
a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(\cos x = x\) có nghiệm.
a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(\cos x = x\) có nghiệm.
Phương pháp giải
- Xét các hàm số vế trái của phương trình.
- Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó.
+ Nếu tích nhỏ hơn \(0\) thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy.
+ Nếu tích lớn hơn \(0\) thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(f\left( 0 \right) = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\)
\(f\left( 1 \right) = {2.1^3} - 6.1 + 1 = - 3;\)
\(f\left( { - 2} \right) = 2.{\left({ - 2} \right)^3} - 6.\left({ - 2} \right) + 1 = - 3\)
+) \(f\left( 0 \right). F\left(1 \right) = 1.\left({ - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_0 \in (0; 1)\).
+) \(f\left( 0 \right). F\left(-2 \right) = 1.\left({ - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_1 \in (-2; 0)\).
Mà \(\left( {0; 1} \right) \cup \left({ - 2; 0} \right) = \emptyset \Rightarrow x_0 \ne x_1 \Rightarrow \) phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
b) \(\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \cos x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(g\left( 0 \right) = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\)
\(g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\)
\(g\left( 0 \right). G\left({\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.\left({ - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{2} < 0\) nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \((0; \dfrac{\pi }{2})\).
- Xét các hàm số vế trái của phương trình.
- Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó.
+ Nếu tích nhỏ hơn \(0\) thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy.
+ Nếu tích lớn hơn \(0\) thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(f\left( 0 \right) = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\)
\(f\left( 1 \right) = {2.1^3} - 6.1 + 1 = - 3;\)
\(f\left( { - 2} \right) = 2.{\left({ - 2} \right)^3} - 6.\left({ - 2} \right) + 1 = - 3\)
+) \(f\left( 0 \right). F\left(1 \right) = 1.\left({ - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_0 \in (0; 1)\).
+) \(f\left( 0 \right). F\left(-2 \right) = 1.\left({ - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_1 \in (-2; 0)\).
Mà \(\left( {0; 1} \right) \cup \left({ - 2; 0} \right) = \emptyset \Rightarrow x_0 \ne x_1 \Rightarrow \) phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
b) \(\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \cos x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(g\left( 0 \right) = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\)
\(g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\)
\(g\left( 0 \right). G\left({\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.\left({ - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{2} < 0\) nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \((0; \dfrac{\pi }{2})\).