Google
Câu hỏi: Hệ phương trình dạng
$\left\{\begin{array}{l}a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}\end{array}\left(a^{2}+b^{2} \neq 0 và a^{\prime 2}+b^{\prime 2} \neq 0\right)\right.$
Có thể có nghiệm trong trường hợp nào?
Áp dụng: Tìm a để hệ có phương trình
\(\left\{ \matrix{
ax + y = {a^2} \hfill \cr
x + ay = 1 \hfill \cr} \right.\) có nghiệm?
$\left\{\begin{array}{l}a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}\end{array}\left(a^{2}+b^{2} \neq 0 và a^{\prime 2}+b^{\prime 2} \neq 0\right)\right.$
Có thể có nghiệm trong trường hợp nào?
Áp dụng: Tìm a để hệ có phương trình
\(\left\{ \matrix{
ax + y = {a^2} \hfill \cr
x + ay = 1 \hfill \cr} \right.\) có nghiệm?
Lời giải chi tiết
Hệ đã cho có nghiệm khi có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm.
+ Hệ có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0
+ Hệ vô số nghiệm khi D = Dx = Dy = 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi D ≠ 0 hoặc D = Dx = Dy = 0.
Áp dụng:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{ll}a & 1 \\ 1 & a\end{array}\right|=a^{2}-1$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}a^{2} & 1 \\ 1 & a\end{array}\right|=a^{3}-1$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}a & a^{2} \\ 1 & 1\end{array}\right|=a-a^{2}$
+ Nếu \(a ≠ ± 1\) hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu \(a = 1\) thì hệ có vô số nghiệm
+ Nếu \(a = -1\) thì hệ vô nghiệm (Do Dx = -2 ≠ 0)
Vậy hệ có nghiệm \(⇔ a ≠ -1\).
Cách trình bày khác:
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(D \ne 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm 1\)
Hệ vô số nghiệm khi
\(\begin{array}{l}D = {D_x} = {D_y} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 = 0\\{a^3} - 1 = 0\\a - {a^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left({a + 1} \right) = 0\\\left({a - 1} \right)\left({{a^2} + a + 1} \right) = 0\\a\left({1 - a} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right.\\a = 1\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\end{array}\)
Do đó với \(\left[ \begin{array}{l}a \ne \pm 1\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ne - 1\) thì hệ có nghiệm.
Hệ đã cho có nghiệm khi có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm.
+ Hệ có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0
+ Hệ vô số nghiệm khi D = Dx = Dy = 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi D ≠ 0 hoặc D = Dx = Dy = 0.
Áp dụng:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{ll}a & 1 \\ 1 & a\end{array}\right|=a^{2}-1$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}a^{2} & 1 \\ 1 & a\end{array}\right|=a^{3}-1$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}a & a^{2} \\ 1 & 1\end{array}\right|=a-a^{2}$
+ Nếu \(a ≠ ± 1\) hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu \(a = 1\) thì hệ có vô số nghiệm
+ Nếu \(a = -1\) thì hệ vô nghiệm (Do Dx = -2 ≠ 0)
Vậy hệ có nghiệm \(⇔ a ≠ -1\).
Cách trình bày khác:
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(D \ne 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm 1\)
Hệ vô số nghiệm khi
\(\begin{array}{l}D = {D_x} = {D_y} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 = 0\\{a^3} - 1 = 0\\a - {a^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left({a + 1} \right) = 0\\\left({a - 1} \right)\left({{a^2} + a + 1} \right) = 0\\a\left({1 - a} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right.\\a = 1\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\end{array}\)
Do đó với \(\left[ \begin{array}{l}a \ne \pm 1\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ne - 1\) thì hệ có nghiệm.