Bài 61 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận các hệ phương trình

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
mx + 3y = m - 1 \hfill \cr
2x + (m - 1)y = 3 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{cc}m & 3 \\ 2 & m-1\end{array}\right|=m^{2}-m-6=(m-3)(m+2)$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}m-1 & 3 \\ 3 & m-1\end{array}\right|=(m-4)(m+2)$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}m & m-1 \\ 2 & 3\end{array}\right|=m+2$
+) Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m \ne - 2\end{array} \right.\) thì hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\left( {m - 4} \right)\left({m + 2} \right)}}{{\left({m - 3} \right)\left({m + 2} \right)}} = \frac{{m - 4}}{{m - 3}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{m + 2}}{{\left({m - 3} \right)\left({m + 2} \right)}} = \frac{1}{{m - 3}}\end{array} \right.\)
+) Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\)
- Với \(m = 3\): hệ vô nghiệm (do Dy​ = 5 ≠ 0)
- Với \(m = -2\) hệ thành
\(\left\{ \matrix{
- 2x + 3y = - 3 \hfill \cr
2x - 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {1 \over 3}(2x - 3)\)
Hệ có vô số nghiệm.

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
5x + (a - 2)y = a \hfill \cr
(a + 3)x + (a + 3)y = 2a \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{cc}5 & a-2 \\ a+3 & a+3\end{array}\right|=5(a+3)-(a-2)(a+3)=(a+3)(7-a)$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}a & a-2 \\ 2 a & a+3\end{array}\right|=a(a+3)-2 a(a-2)=-a^{2}+7 a=a(7-a)$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}5 & a \\ a+3 & 2 a\end{array}\right|=10 a-a(a+3)=-a^{2}+7 a=a(7-a)$
Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne - 3\\a \ne 7\end{array} \right.\) thì hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{a\left( {7 - a} \right)}}{{\left({a + 3} \right)\left({7 - a} \right)}} = \frac{a}{{a + 3}}\\y = \frac{{a\left({7 - a} \right)}}{{\left({a + 3} \right)\left({7 - a} \right)}} = \frac{a}{{a + 3}}\end{array} \right.\)
Nếu \(D = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = 7\end{array} \right.\)
+ Với \(a=-3\) thì hệ vô nghiệm vì \({D_x} = - 30 \ne 0\)
+ Với \(a = 7\), hệ thành
\(\left\{ \matrix{
5x + 5y = 7 \hfill \cr
10x + 10y = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x + {7 \over 5}\)
Hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;{7 \over 5} - x} \right), x \in\mathbb R\)