Google
Câu hỏi: Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:
\(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\)
\(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:
\({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (1)
\({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (2)
Lấy (1) trừ (2) ta có:
\((1 - a){x_0} + a - 1 = 0\)\(\Leftrightarrow (1 - a)({x_0} - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)
+) Với \({x_0}= 1 \) thay vào (1) ta được: \({1^2} + 1 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 2\)
Khi đó, hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm chung là \(x = 1\)
+) Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vô nghiệm)
Vậy \(a = -2\).
Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:
\({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (1)
\({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (2)
Lấy (1) trừ (2) ta có:
\((1 - a){x_0} + a - 1 = 0\)\(\Leftrightarrow (1 - a)({x_0} - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)
+) Với \({x_0}= 1 \) thay vào (1) ta được: \({1^2} + 1 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 2\)
Khi đó, hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm chung là \(x = 1\)
+) Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vô nghiệm)
Vậy \(a = -2\).