Bài 57 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho phương trình \((m - 1)x^2+ 2x - 1 = 0 (1)\)

Câu a​

Giải và biện luận phương trình.
Lời giải chi tiết:
+) Với \(m = 1\) thì (1) là \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
+) Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ’ = 1 + m – 1 = m\)
Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm nên S = Ø
Với m = 0 thì phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) nên S = {1}
Với m > 0 và m \(\ne \) 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt m }}{{m - 1}}\)
Do đó \(S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}}; {{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\)
Vậy,
+) \(m = 1\) thì \(S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)
+) m < 0 thì S = Ø
+) m = 0 thì S = {1}
+) m > 0 và m \(\ne \) 1 thì \(S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}}; {{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\)

Câu b​

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.
Phương pháp giải:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \( \Leftrightarrow P < 0\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \)
\(\Leftrightarrow  - {1 \over {m - 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m - 1}} > 0\)
\(\Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\)

Câu c​

Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \(1 ≠ m > 0\)
Theo định lý Vi-ét:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {2 \over {m - 1}} \hfill \cr 
{x_1}{x_2} = - {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 \cr& \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 1\cr&\Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 \cr 
& \Leftrightarrow {4 \over {{{(m - 1)}^2}}} + {2 \over {m - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2(m - 1) = {(m - 1)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 2 - \sqrt 5 (\text{loại}) \hfill \cr 
m = 2 + \sqrt 5 ,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)