Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai đường thẳng:  và
.

Câu a​

Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng d’ đi qua có vectơ chỉ phương .
Ta có
.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Vì .

Câu b​

Tìm khoảng cách giữa d và d’.
Lời giải chi tiết:
Gọi h là khoảng cách giữa d và d’, ta có:
.

Câu c​

Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
Lời giải chi tiết:
d có phương trình tham số là
.
Lấy điểm N(t; 1 + 2t; 6 + 3t) và .
NN’ là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi và . Ta có:

Vậy và .
.
Phương trình đường vuông góc chung qua và có vectơ chỉ phương  nên có phương trình tham số là:

Cách khác:
Theo câu a, ta có d⊥d', vậy đường vuông góc của d và d’ chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).
Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.
(P) đi qua và nhận làm VTPT nên có phương trình là:
1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0
x+y-z+5=0
(Q) đi qua và nhận làm VTPT nên có phương trình là:
1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0
x+2y+3z-6=0
Vậy phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:
Cho ta được điểm .
là giao tuyến của (P) và (Q) nên .
Vậy có PTTS

Câu d​

Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.
Lời giải chi tiết:
Giả sử đường thẳng song song với Oz, cắt d và d’ lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có và
Vì cùng phương với  nên
.
Vậy  và .
Vậy phương trình của  là

Cách khác:
Đường thẳng song song với Oz và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);
Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.
(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.
Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận   làm vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình là: 2x-y+1=0
Tương tự mp(β) có phương trình: x – y- 3 =0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
Hay phương trình tham số của đường thẳng là