Bài 49 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Câu a​

\(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} \) \(- {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left({\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\cos ^{2}(\alpha+x)+\cos ^{2} x-2 \cos \alpha \cos x \cdot \cos (\alpha+x)$
$=\cos (\alpha+x)[\cos (\alpha+x)-2 \cos \alpha \cdot \cos x]+\cos ^{2} x$
$=\cos (\alpha+x)[\cos \alpha \cdot \cos x-\sin \alpha \cdot \sin x-2 \cos \alpha \cdot \cos x]+\cos ^{2} x$
$=\cos (\alpha+x)[-\sin \alpha \cdot \sin x-\cos \alpha \cdot \cos x]+\cos ^{2} x$
$=-\cos (\alpha+x) \cdot \cos (\alpha-x)+\cos ^{2} x$
$=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+x-\alpha+x)+\cos (\alpha+x+\alpha-x)]+\cos ^{2} x$
$=-\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2} \cos 2 \alpha+\cos ^{2} x=-\frac{1}{2}\left(2 \cos ^{2} x-1\right)-\frac{1}{2} \cos 2 \alpha+\cos ^{2} x$
$=-\cos ^{2} x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 \alpha+\cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 \alpha)$
(không phụ thuộc vào x)

Câu b​

$\sin 4 x \cdot \sin 10 x-\sin 11 x \cdot \sin 3 x-\sin 7 x \cdot \sin x$
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$\sin 4 x \cdot \sin 10 x-\sin 11 x \cdot \sin 3 x-\sin 7 x \cdot \sin x$
\(\eqalign{
& = {1 \over 2}(cos6x - \cos 14x)\cr & - {1 \over 2}(cos8x - \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x - \cos 8x) \cr} \)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 14x - \cos 8x\\
+ \cos 14x - \cos 6x + \cos 8x)\\
= \frac{1}{2}. 0 = 0
\end{array}\)
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.