Bài 40 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  + {\pi  \over 4})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr &= \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha) \cr 
& = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha) \cr 
& = \sin \alpha + \cos \alpha \cr} \)

Câu b​

\(\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  - {\pi  \over 4})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha - {\pi \over 4})\cr & = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos \alpha) \cr 
&  = \sqrt 2 \left({\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right)\cr &= \sin\alpha - \cos \alpha \cr} \)

Câu c​

\(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\) \((\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ; \alpha  \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha) = {{\tan {\pi  \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \)

Câu d​

\(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\) \((\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ; \alpha  \ne {\pi  \over 4} + k\pi)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha) = {{\tan {\pi  \over 4} + \tan \alpha } \over {1 - \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }} \)