Bài 52 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \({\pi  \over 2} + k\pi (k \in Z)\) thì:
\(\left\{ \matrix{
\tan \alpha + \tan \beta = {{\sin (\alpha + \beta)} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr 
\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin (\alpha - \beta)} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \tan \alpha + \tan \beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr&= {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr 
& = {{\sin (\alpha + \beta)} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\tan \alpha - \tan \beta = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }}\\
= \frac{{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta }}{{\cos \alpha \cos \beta }}\\
= \frac{{\sin \left({\alpha - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}
\end{array}\)

Câu b​

Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1,2,3,4,5,6,7,8) và sin ∝ ≠ 0 thì:
\({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)
\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin (2\alpha  - \alpha)}} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)
Tương tự:
\(\eqalign{
& {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} = {{\tan 3\alpha - \tan 2\alpha } \over {\sin \alpha }};... \cr 
& {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = {{\tan 8\alpha - \tan 7\alpha } \over {\sin \alpha }} \cr} \)
Do đó: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{\tan 2\alpha - \tan \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{\tan 3\alpha - \tan 2\alpha }}{{\sin \alpha }}\\
+ ... + \frac{{\tan 8\alpha - \tan 7\alpha }}{{\sin \alpha }}\\
= \frac{{\tan 2\alpha - \tan \alpha + \tan 3\alpha - \tan 2\alpha + ... + \tan 8\alpha - \tan 7\alpha }}{{\sin \alpha }}
\end{array}\)
\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)