Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng: \(\cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7} = - {1 \over 2}\)
Phương pháp giải
Hướng dẫn: Nhân vế trái với \(\sin {\pi \over 7}\) (hoặc \(\sin {{2\pi } \over 7}\) ) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết
Đặt \(A = \cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7}\)
Ta có: $A \cdot \sin \frac{\pi}{7}=\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{2 \pi}{7}+\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{4 \pi}{7}+\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{6 \pi}{7}$
$=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{2 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{2 \pi}{7}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{4 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{4 \pi}{7}\right)\right]$
$+\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{6 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{6 \pi}{7}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}\left[-\sin \frac{\pi}{7}+\sin \frac{3 \pi}{7}-\sin \frac{3 \pi}{7}+\sin \frac{5 \pi}{7}-\sin \frac{5 \pi}{7}+\sin \pi\right]=-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{7}$
Vậy $A \cdot \sin \frac{\pi}{7}=-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{7}=>\quad A=-\frac{1}{2}(\mathrm{~d} p c m)$
Hướng dẫn: Nhân vế trái với \(\sin {\pi \over 7}\) (hoặc \(\sin {{2\pi } \over 7}\) ) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết
Đặt \(A = \cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7}\)
Ta có: $A \cdot \sin \frac{\pi}{7}=\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{2 \pi}{7}+\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{4 \pi}{7}+\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{6 \pi}{7}$
$=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{2 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{2 \pi}{7}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{4 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{4 \pi}{7}\right)\right]$
$+\frac{1}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{7}-\frac{6 \pi}{7}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}+\frac{6 \pi}{7}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}\left[-\sin \frac{\pi}{7}+\sin \frac{3 \pi}{7}-\sin \frac{3 \pi}{7}+\sin \frac{5 \pi}{7}-\sin \frac{5 \pi}{7}+\sin \pi\right]=-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{7}$
Vậy $A \cdot \sin \frac{\pi}{7}=-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{7}=>\quad A=-\frac{1}{2}(\mathrm{~d} p c m)$