Bài 4.59 trang 174 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình:

Câu a​

\({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm;
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a; b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1; 0} \right],\left[ {0; 3} \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left({ - 1; 0} \right),\left({0; 3} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) =  - 23\\f\left({ - 1} \right) = 3\\f\left(0 \right) =  - 1\\f\left(3 \right) = 227\end{array}\)
Vì \(f\left( { - 2} \right). F\left({ - 1} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right)\)
\(f\left( { - 1} \right). F\left(0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1; 0} \right)\)
\(f\left( 0 \right). F\left(3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0; 3} \right)\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 3 nghiệm.

Câu b​

\(m{\left( {x - 1} \right)^3}\left({{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m ;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left({x - 1} \right)^3}\left({{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; 1} \right],\left[ {1; 2} \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 2; 1} \right),\left({1; 2} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 13\\f\left(1 \right) =  - 2\\f\left(2 \right) = 13\end{array}\)
Vì \(f\left( { - 2} \right). F\left(1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; 1} \right)\)
\(f\left( 1 \right). F\left(2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1; 2} \right)\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm với mọi \(m\).

Câu c​

\({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của \(m \in \left( { - 2; 2} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) trên các đoạn \(\left[ { - 1; 1} \right],\left[ {1; 2} \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1; 1} \right),\left({1; 2} \right)\)
Ta có:
\(f\left( { - 1} \right) = 2 - m > 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2; 2} \right)\)
\(f\left( 1 \right) =  - 2 - m < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2; 2} \right)\)
\(f\left( 2 \right) = 2 - m > 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2; 2} \right)\)
Do đó:
\(f\left( { - 1} \right). F\left(1 \right) < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2; 2} \right)\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1; 1} \right)\)
\(f\left( 1 \right). F\left(2 \right) < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2; 2} \right)\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1; 2} \right)\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm với mọi \(m\).