Google
Câu hỏi: Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a) \(f\left( x \right)\) xác định trên R
b) \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty; 0} \right)\) và trên \({\rm{[}}0; + \infty)\) nhưng gián đoạn tại x = 0.
a) \(f\left( x \right)\) xác định trên R
b) \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty; 0} \right)\) và trên \({\rm{[}}0; + \infty)\) nhưng gián đoạn tại x = 0.
Phương pháp giải
Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và nhận xét.
Lời giải chi tiết
Xét
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ , nếu }} x \ge 0 \hfill \cr
x - 1{\rm{ , nếu }} x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Dễ thấy hàm số xác định trên \(R\) và liên tục trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \([0;+\infty)\).
Tại \(x=0\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({x - 1} \right) = - 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 0\).
Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và nhận xét.
Lời giải chi tiết
Xét
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ , nếu }} x \ge 0 \hfill \cr
x - 1{\rm{ , nếu }} x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Dễ thấy hàm số xác định trên \(R\) và liên tục trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \([0;+\infty)\).
Tại \(x=0\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({x - 1} \right) = - 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 0\).