Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)
Phương pháp giải
- Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là \({a_n} = {1 \over {2n\pi }}\) và \({b_n} = {1 \over {\left( {2n + 1} \right)\pi }}\).
- Tính và so sánh \(\lim f\left( {{a_n}} \right)\) và \(\lim f\left( {{b_n}} \right)\) để kết luận về giới hạn của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to 0\)
Lời giải chi tiết
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) = \lim \left({\cos 2n\pi } \right) = 1\)
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right) = \lim \left({\cos \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = - 1\)
Do đó \(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ne \lim \left({\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)
- Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là \({a_n} = {1 \over {2n\pi }}\) và \({b_n} = {1 \over {\left( {2n + 1} \right)\pi }}\).
- Tính và so sánh \(\lim f\left( {{a_n}} \right)\) và \(\lim f\left( {{b_n}} \right)\) để kết luận về giới hạn của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to 0\)
Lời giải chi tiết
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) = \lim \left({\cos 2n\pi } \right) = 1\)
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right) = \lim \left({\cos \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = - 1\)
Do đó \(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ne \lim \left({\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)