Google
Câu hỏi: Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left(1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left({x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a; b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left(x \right) - f\left({x + {1 \over 2}} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{
& g\left(0 \right) = f\left(0 \right) - f\left({0 + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right) \cr
& g\left({{1 \over 2}} \right) = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left({{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(1 \right) \cr
& = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(0 \right) \cr} \)
(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left(1 \right)\)).
Do đó,
\(\eqalign{
& g\left(0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) \cr &= \left[ {f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(0 \right)} \right] \cr
& = - {\left[ {f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)
- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)
- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)
Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)
Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left({x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a; b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left(x \right) - f\left({x + {1 \over 2}} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{
& g\left(0 \right) = f\left(0 \right) - f\left({0 + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right) \cr
& g\left({{1 \over 2}} \right) = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left({{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(1 \right) \cr
& = f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(0 \right) \cr} \)
(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left(1 \right)\)).
Do đó,
\(\eqalign{
& g\left(0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) \cr &= \left[ {f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left({{1 \over 2}} \right) - f\left(0 \right)} \right] \cr
& = - {\left[ {f\left(0 \right) - f\left({{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)
- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)
- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left({{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)
Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)
Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left({x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).