Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a; b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ {0; 2} \right]\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = - 7, f\left(2 \right) = 19\) \(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left(2 \right) < 0\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0; 2} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)
Ta có:
\(f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \(= \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left({ - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}\)
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1\)
\(f\left( \pi \right) = 3\)
\(\Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right). F\left({\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right). F\left(\pi \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có,
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có \(f\left( 0 \right)f\left(1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.
Câu a
\({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a; b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ {0; 2} \right]\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = - 7, f\left(2 \right) = 19\) \(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left(2 \right) < 0\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0; 2} \right)\).
Câu b
\(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};\pi } \right)\) ;Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)
Ta có:
\(f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \(= \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left({ - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}\)
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1\)
\(f\left( \pi \right) = 3\)
\(\Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right). F\left({\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right). F\left(\pi \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)\).
Câu c
\(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.Lời giải chi tiết:
Ta có,
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có \(f\left( 0 \right)f\left(1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!