Google
Câu hỏi: Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}}, {\rm{ nếu }} x \ne 1 \hfill \cr
{m^2}{\rm{ , nếu }} x = 1 \hfill \cr} \right.\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}}, {\rm{ nếu }} x \ne 1 \hfill \cr
{m^2}{\rm{ , nếu }} x = 1 \hfill \cr} \right.\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\) là hàm phân thức nên liên tục.
Tại \(x = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left({\sqrt x - 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}{{\left({{x^2} - 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left({x - 1} \right)\left({x + 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left({x + 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\left({1 + 1} \right)\left({\sqrt 1 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Để hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì nó liên tục tại \(x = 1\)
\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left(1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\) là hàm phân thức nên liên tục.
Tại \(x = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left({\sqrt x - 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}{{\left({{x^2} - 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left({x - 1} \right)\left({x + 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left({x + 1} \right)\left({\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\left({1 + 1} \right)\left({\sqrt 1 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Để hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì nó liên tục tại \(x = 1\)
\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left(1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\).