Google
Câu hỏi: Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c).
Phương pháp giải
Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x + 2, {\rm{nếu}} \le {\rm{0}} \hfill \cr
{1 \over {{x^2}}}{\rm {, nếu }} x > 0 \hfill \cr} \right.\)
- Trường hợp \(x \le 0\)
\(f\left( x \right) = x + 2\) là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
- Trường hợp x > 0
\(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên liên tục trên (0; 2).
Như vậy \(f\left( x \right)\) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0.
Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2).
Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x + 2, {\rm{nếu}} \le {\rm{0}} \hfill \cr
{1 \over {{x^2}}}{\rm {, nếu }} x > 0 \hfill \cr} \right.\)
- Trường hợp \(x \le 0\)
\(f\left( x \right) = x + 2\) là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
- Trường hợp x > 0
\(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên liên tục trên (0; 2).
Như vậy \(f\left( x \right)\) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0.
Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2).