Google
Câu hỏi: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}, {\rm{ nếu }} x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , nếu }} x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}, {\rm{ nếu }} x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , nếu }} x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
Tập xác định của hàm số là D = R
- Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
- Tại \(x = \sqrt 2 \) :
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left({x - \sqrt 2 } \right)\left({x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left({x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left({\sqrt 2 } \right) \cr}\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)
Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R
{{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}, {\rm{ nếu }} x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ , nếu }} x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}, {\rm{ nếu }} x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ , nếu }} x = 2 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là D = R
- Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty, 2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}} = - \infty \)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2
Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty, 2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2.
Câu a
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}, {\rm{ nếu }} x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , nếu }} x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}, {\rm{ nếu }} x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , nếu }} x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
Tập xác định của hàm số là D = R
- Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
- Tại \(x = \sqrt 2 \) :
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left({x - \sqrt 2 } \right)\left({x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left({x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left({\sqrt 2 } \right) \cr}\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)
Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R
Câu b
\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}, {\rm{ nếu }} x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ , nếu }} x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}, {\rm{ nếu }} x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ , nếu }} x = 2 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là D = R
- Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty, 2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left({x - 2} \right)}^2}}} = - \infty \)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2
Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty, 2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!