Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{\left({x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}\)
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Phương pháp giải
- Đưa hàm số về dạng khoảng rồi vẽ đồ thị.
- Quan sát đồ thị nhận xét tính liên tục và kết luận.
Lời giải chi tiết
\(f\left( x \right) = {{\left({x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{x - 1, {\rm{ nếu }} x > 0 \hfill \cr 1 - x, {\rm{ nếu x < 0}} \hfill \cr} \right.\) Hàm số này có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Từ đồ thị dự đoán \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right), \left({0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) nhưng không liên tục trên R.
Thật vậy,
- Với \(x > 0, f\left( x \right) = x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
- Với \(x < 0, f\left( x \right) = 1 - x\) cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = 1\)
- Đưa hàm số về dạng khoảng rồi vẽ đồ thị.
- Quan sát đồ thị nhận xét tính liên tục và kết luận.
Lời giải chi tiết
\(f\left( x \right) = {{\left({x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{x - 1, {\rm{ nếu }} x > 0 \hfill \cr 1 - x, {\rm{ nếu x < 0}} \hfill \cr} \right.\) Hàm số này có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Từ đồ thị dự đoán \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right), \left({0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) nhưng không liên tục trên R.
Thật vậy,
- Với \(x > 0, f\left( x \right) = x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
- Với \(x < 0, f\left( x \right) = 1 - x\) cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = 1\)