Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên...

Ta có $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \cos x\in \left[ 0;1 \right]$. Phương trình $\cos x=1$ chỉ có một nghiệm duy nhất thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
Đặt $t=\cos x$, với mỗi $t\in \left[ 0;1 \right)$ phương trình $t=\cos x$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
Phương trình $7.f\left( 5-2\sqrt{1+3\cos x} \right)=3m-10$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( 5-2\sqrt{1+3t} \right)=\dfrac{3m-10}{7}$ có đúng 1 nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right)$.
Xét $0\le t<1\Leftrightarrow 1<5-2\sqrt{1+3t}\le 3$, dựa vào đồ thị ta thấy phương trình $f\left( 5-2\sqrt{1+3t} \right)=\dfrac{3m-10}{7}$ có đúng 1 nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
$\left[ \begin{aligned}
& -2\le \dfrac{3m-10}{7}\le 0 \\
& \dfrac{3m-10}{7}=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -\dfrac{4}{3}\le m<\dfrac{10}{3} \\
& m=-6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tập các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ -6;-1;0;1;2;3 \right\}$.