Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=8 \\
& x=\pm 3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {g}'\left( x \right)=\dfrac{\left( 3{{x}^{2}}+6 \right)\left( {{x}^{3}}+6x \right)}{\left| {{x}^{3}}+6x \right|}{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+6x \right|+m \right)$.
Cho ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& \left| {{x}^{3}}+6x \right|=8-m \left( 1 \right) \\
& \left| {{x}^{3}}+6x \right|=3-m \left( 2 \right) \\
& \left| {{x}^{3}}+6x \right|=-3-m \left( loai \right), v\grave{i} m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $g\left( -x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm số chẵn
$g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+6x \right|+m \right)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị $\Leftrightarrow g\left( x \right)$ có 1 cực trị dương
$\Rightarrow \left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$ có ít nhất 1 nghiệm dương.
Xét hàm số $u=\left| {{x}^{3}}+6x \right|$ có BBT như hình dưới
Từ BBT, để phương trình $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$ có ít nhất 1 nghiệm dương thì $8-m>0\Leftrightarrow m<8$.
Vì $m>0$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1; 2; 3;....; 7 \right\}$.