Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

Ta thấy ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=9;\pm 4$ và các nghiệm này là các nghiệm đơn của phương trình.
Ta có ${g}'\left( x \right)={{\left( \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+7x}{\left| {{x}^{3}}+7x \right|}.\left( 3{{x}^{2}}+7 \right).{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m \right)$.
Ta thấy: ${g}'\left( x \right)$ không xác định $\Leftrightarrow {{x}^{3}}+7x=0\Leftrightarrow x=0$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m \right)=0\text{ }\left( 1 \right)$.
Xét $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m=-4 \\
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m=9 \\
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|+m=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|=-4-m \\
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|=9-m \\
& \left| {{x}^{3}}+7x \right|=4-m \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $h\left( x \right)={{x}^{3}}+7x$ ; có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+7>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Ta có bảng biến thiên
Hàm số có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ pt $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm đơn phân biệt khác 0
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4-m>0 \\
& -4-m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4\le m<4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 \right\}$. Vậy có 8 số nguyên $m$.