Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=fx}$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)$ có ${5}$ điểm cực trị?
A. ${8}$.
B. ${9}$.
C. ${7}$.
D. ${6}$.
A. ${8}$.
B. ${9}$.
C. ${7}$.
D. ${6}$.
Ta có ${y}'=\left( 2x-6 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)$.
Yêu cấu bài toán suy ra phương trình ${y}'=0$ có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Mà ${y}'=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=-3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=0 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m+3=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-6x+m=0 \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-6x+m-1=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình $\left( 1 \right)$ nếu có nghiệm là nghiệm bội chẵn (do đó không phải điểm cực trị) nên yêu cầu bài toán các phương trình $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ đều có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm này khác nhau và khác $3$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{\left( 2 \right)}}^{\prime }>0 \\
& {{\Delta }_{\left( 3 \right)}}^{\prime }>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-m>0 \\
& 9-\left( m-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<9 \\
& m<10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<9$.
Vì ${m}$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ thoả mãn.
Yêu cấu bài toán suy ra phương trình ${y}'=0$ có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.
Mà ${y}'=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=-3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=0 \\
& {{x}^{2}}-6x+m=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{x}^{2}}-6x+m+3=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-6x+m=0 \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-6x+m-1=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình $\left( 1 \right)$ nếu có nghiệm là nghiệm bội chẵn (do đó không phải điểm cực trị) nên yêu cầu bài toán các phương trình $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ đều có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm này khác nhau và khác $3$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{\left( 2 \right)}}^{\prime }>0 \\
& {{\Delta }_{\left( 3 \right)}}^{\prime }>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-m>0 \\
& 9-\left( m-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<9 \\
& m<10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<9$.
Vì ${m}$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ thoả mãn.
Đáp án A.