Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)$ với mọi $x.$ Số các giá trị nguyên $m$ sao cho hàm số $y=f\left( \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right| \right)$ có $11$ điểm cực trị là
A. 23.
B. 27.
C. 24.
D. 26.
A. 23.
B. 27.
C. 24.
D. 26.
Ta có:
$y=f\left( \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right| \right)\Rightarrow {y}'=\dfrac{\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right)\left( 6{{x}^{2}}+6x-12 \right)}{\left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|}.{f}'\left( \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right| \right)$ ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}+6x-12=0 \\
& \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {y}' $ không xác định $ 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m=0$.
$6{{x}^{2}}+6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo yêu cầu bài toán thì phương trình $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m=0$ và $\left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|=1$ phải có $9$ nghiệm phân biệt.
Khảo sát hàm số $y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x$ ta có được bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: $\left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m+1 \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m-1 \\
\end{aligned} \right. $ có $ 9 $ nghiệm: $ \left\{ \begin{aligned}
& m+1<20 \\
& m-1>-7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -6<m<19$
Vậy có $24$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
$y=f\left( \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right| \right)\Rightarrow {y}'=\dfrac{\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right)\left( 6{{x}^{2}}+6x-12 \right)}{\left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|}.{f}'\left( \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right| \right)$ ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}+6x-12=0 \\
& \left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {y}' $ không xác định $ 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m=0$.
$6{{x}^{2}}+6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo yêu cầu bài toán thì phương trình $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m=0$ và $\left| 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x-m \right|=1$ phải có $9$ nghiệm phân biệt.
Khảo sát hàm số $y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x$ ta có được bảng biến thiên:
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m+1 \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x=m-1 \\
\end{aligned} \right. $ có $ 9 $ nghiệm: $ \left\{ \begin{aligned}
& m+1<20 \\
& m-1>-7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -6<m<19$
Vậy có $24$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.
