Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-x-2$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;2 \right)$ là
A. $19$.
B. $18$.
C. $16$.
D. $13$.
A. $19$.
B. $18$.
C. $16$.
D. $13$.
Ta có ycbt $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 6{{x}^{2}}-6x-12 \right).{f}'\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m \right)\le 0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$
$\Leftrightarrow {f}'\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -1;2 \right] \left( * \right)$ do $6{{x}^{2}}-6x-12=6\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\le 0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$
Mặt khác ${f}'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& x\le -1 \\
\end{aligned} \right.$ do đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m\ge 2 \\
& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m\le -1 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -1;2 \right] \left( ** \right)$
Hàm số $u\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ như sau:
Vậy $\left( ** \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-20\ge 2 \\
& m+7\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 22 \\
& m\le -8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -20;...;-8 \right\}$.
$\Leftrightarrow {f}'\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -1;2 \right] \left( * \right)$ do $6{{x}^{2}}-6x-12=6\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\le 0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$
Mặt khác ${f}'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& x\le -1 \\
\end{aligned} \right.$ do đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m\ge 2 \\
& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m\le -1 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -1;2 \right] \left( ** \right)$
Hàm số $u\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ như sau:
& m-20\ge 2 \\
& m+7\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 22 \\
& m\le -8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -20;...;-8 \right\}$.
Đáp án D.