Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là...

Ta có ${y}'={f}'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)=\left( 2x+3 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$.
Theo đề bài ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$
suy ra ${f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-3 \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow -3<x<1$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ khi ${y}'\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( 2x+3 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$.
Do $x\in \left( 0;2 \right)$ nên $2x+3>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$. Do đó, ta có:
${y}'\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x-m\le -3 \\
& {{x}^{2}}+3x-m\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge {{x}^{2}}+3x+3 \\
& m\le {{x}^{2}}+3x-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left( {{x}^{2}}+3x+3 \right) \\
& m\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}+3x-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 13 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $m\in \left[ -10;20 \right]$, $m\in \mathbb{Z}$ nên có $18$ giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu đề bài.