Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là...

Phương pháp:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ khi $f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( a;b \right).$ Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm
Cách giải:
Ta có: $y'=f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\left( 2x+3 \right)$
Với $x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow 2x+3>0$
Lại có: $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$. Khi đó $f'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le -3 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right.;f'\left( x \right)<0\Leftrightarrow -3<x<1$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ khi
$y'\ge 0\Leftrightarrow \left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x-m\le -3 \\
& {{x}^{2}}+3x-m\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge {{x}^{2}}+3x+3 \\
& m\le {{x}^{2}}+3x-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} \left( {{x}^{2}}+3x+3 \right) \\
& m\le \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }} {{x}^{2}}+3x-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 13 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -10;20 \right]$ nên $m\in \left\{ -10;-9;...;-1;13;14;...;19;20 \right\}$.