Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(x)=f\prime (x)+2\left( 3x+1 \right){{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=-3e$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=2f(x)$ và $y=f\prime (x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 20;30 \right)$.
B. $\left( 10;20 \right)$.
C. $\left( 0;10 \right)$.
D. $\left( 30;40 \right)$.
A. $\left( 20;30 \right)$.
B. $\left( 10;20 \right)$.
C. $\left( 0;10 \right)$.
D. $\left( 30;40 \right)$.
$f(x)=f\prime (x)+2\left( 3x+1 \right){{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f\prime (x){{e}^{-x}}-f(x){{e}^{-x}}=-6x-2,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{\left( f(x){{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-6x-2\Rightarrow f(x){{e}^{-x}}=-3{{x}^{2}}-2x+C\Rightarrow f(x)=\left( -3{{x}^{2}}-2x+C \right){{e}^{x}}$.
Mà $f(1)=-3e\Rightarrow \left( C-5 \right)e=-3e\Rightarrow C=2\Rightarrow f(x)=\left( -3{{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}$
$\Rightarrow f\prime (x)=\left( -3{{x}^{2}}-8x \right){{e}^{x}}\Rightarrow 2f(x)-f\prime (x)=\left( -3{{x}^{2}}+4x+4 \right){{e}^{x}}$.
$2f(x)-f\prime (x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-\dfrac{2}{3}. \\
\end{aligned} \right.$
$S=\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| 2f(x)-f\prime (x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| -3{{x}^{2}}+4x+4 \right|}{{e}^{x}}\text{d}x\approx 21,97$.
$\Leftrightarrow {{\left( f(x){{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-6x-2\Rightarrow f(x){{e}^{-x}}=-3{{x}^{2}}-2x+C\Rightarrow f(x)=\left( -3{{x}^{2}}-2x+C \right){{e}^{x}}$.
Mà $f(1)=-3e\Rightarrow \left( C-5 \right)e=-3e\Rightarrow C=2\Rightarrow f(x)=\left( -3{{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}$
$\Rightarrow f\prime (x)=\left( -3{{x}^{2}}-8x \right){{e}^{x}}\Rightarrow 2f(x)-f\prime (x)=\left( -3{{x}^{2}}+4x+4 \right){{e}^{x}}$.
$2f(x)-f\prime (x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-\dfrac{2}{3}. \\
\end{aligned} \right.$
$S=\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| 2f(x)-f\prime (x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| -3{{x}^{2}}+4x+4 \right|}{{e}^{x}}\text{d}x\approx 21,97$.
Đáp án A.