Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $f(x)(3 x+2)+$ $f^{\prime}(x)(3 x-1)=x^2+1 ; f(0)=-3$. Hỏi tích phân $\int_1^2 f(x) d x$ nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. $(2 ; 3)$.
B. $(0 ; 1)$.
C. $(1 ; 2)$.
D. $(3 ; 4)$.
A. $(2 ; 3)$.
B. $(0 ; 1)$.
C. $(1 ; 2)$.
D. $(3 ; 4)$.
Xét đẳng thức $\left(e^u \cdot f(x)\right)^{\prime}=e^u\left(f^{\prime}(x)+u^{\prime} f(x)\right)$. Từ $f(x)(3 x+2)+f^{\prime}(x)(3 x-1)=x^2+1$ suy ra $f^{\prime}(x)+f(x) \cdot \dfrac{3 x+2}{3 x-1}=\dfrac{x^2+1}{3 x-1}$ nên chọn $u^{\prime}=\dfrac{3 x+2}{3 x-1}$ hay $u=x+\ln |3 x-1|$. Từ đó $\left(e^u \cdot f(x)\right)^{\prime}=e^u \cdot \dfrac{x^2+1}{3 x-1}=e^x .\left(x^2+1\right)$. Lấy nguyên hàm hai vế thu được
$
\begin{aligned}
& e^u \cdot f(x)=\int e^x\left(x^2+1\right) d x=e^x\left(x^2-2 x+3\right)+C \\
& \Leftrightarrow e^x(3 x-1) f(x)=e^x\left(x^2-2 x+3\right)+C
\end{aligned}
$
Cho $x=0$ thu được $-f(0)=3+C$ hay $C=0$. Vậy
$
f(x)=\dfrac{x^2-2 x+3}{3 x-1} \Rightarrow \int_1^2 f(x) d x=\int_1^2 \dfrac{x^2-2 x+3}{3 x-1} d x=\dfrac{1}{54}\left(44 \log \left(\dfrac{5}{2}\right)-3\right) \approx 0,6911
$
$
\begin{aligned}
& e^u \cdot f(x)=\int e^x\left(x^2+1\right) d x=e^x\left(x^2-2 x+3\right)+C \\
& \Leftrightarrow e^x(3 x-1) f(x)=e^x\left(x^2-2 x+3\right)+C
\end{aligned}
$
Cho $x=0$ thu được $-f(0)=3+C$ hay $C=0$. Vậy
$
f(x)=\dfrac{x^2-2 x+3}{3 x-1} \Rightarrow \int_1^2 f(x) d x=\int_1^2 \dfrac{x^2-2 x+3}{3 x-1} d x=\dfrac{1}{54}\left(44 \log \left(\dfrac{5}{2}\right)-3\right) \approx 0,6911
$
Đáp án B.