Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2 f(1-x)-3 f(x)=3 x^2+2 x$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Tính tích phân $I=\int_0^1 x \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
A. $I=2$.
B. $I=1$.
C. $I=0$.
D. $I=-1$.
A. $I=2$.
B. $I=1$.
C. $I=0$.
D. $I=-1$.
Ta có: $2 f(1-x)-3 f(x)=3 x^2+2 x$
Lần lượt chọn $x=0, x=1$, ta có hệ sau: $\left\{\begin{array}{l}2 f(0)-3 f(1)=5 \\ 2 f(1)-3 f(0)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(1)=-3 \\ f(0)=-2\end{array}\right.\right.$
Tính $I=\int_0^1 x \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$. Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=f^{\prime}(x) \mathrm{dx}\end{array}\right.$ Chọn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=f(x)\end{array}\right.$
$$
I=\left.x \cdot f(x)\right|_0 ^1-\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=-3-J
$$
Đặt $\quad x=1-t \Rightarrow J=-\int_1^0 f(1-t) \mathrm{d} t=\int_0^1 f(1-x) \mathrm{d} x=K$. Suy ra $2 J-3 K=\int_0^1\left(3 x^2+\right.$ 2x) $d x=2$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}J=K \\ 2 J-3 K=2\end{array} \Leftrightarrow J=K=-2\right.$.
Vậy $I=-3+2=-1$.
Lần lượt chọn $x=0, x=1$, ta có hệ sau: $\left\{\begin{array}{l}2 f(0)-3 f(1)=5 \\ 2 f(1)-3 f(0)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(1)=-3 \\ f(0)=-2\end{array}\right.\right.$
Tính $I=\int_0^1 x \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$. Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=f^{\prime}(x) \mathrm{dx}\end{array}\right.$ Chọn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=f(x)\end{array}\right.$
$$
I=\left.x \cdot f(x)\right|_0 ^1-\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=-3-J
$$
Đặt $\quad x=1-t \Rightarrow J=-\int_1^0 f(1-t) \mathrm{d} t=\int_0^1 f(1-x) \mathrm{d} x=K$. Suy ra $2 J-3 K=\int_0^1\left(3 x^2+\right.$ 2x) $d x=2$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}J=K \\ 2 J-3 K=2\end{array} \Leftrightarrow J=K=-2\right.$.
Vậy $I=-3+2=-1$.
Đáp án D.