Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $f(0)=1$ và $f^{\prime}(x)-2 x f(x)=2 x^3 f^2(x)$. Tính $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. 2 .
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. 2 .
Xét với $x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
Ta có: $f^{\prime}(x)-2 x f(x)=2 x^3 f^2(x) \Leftrightarrow \dfrac{2 x f(x)-f \prime(x)}{f^2(x)}=-2 x^3$
$\Leftrightarrow \dfrac{2 x \cdot \mathrm{e}^{x^2} \cdot f(x)-f \prime(x) \cdot \mathrm{e}^{x^2}}{f^2(x)}=-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \Leftrightarrow\left[\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}\right]^{\prime}=-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2}(1)$.
Xét: $\int-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d} x=-\int x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d}\left(x^2\right)=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \mathrm{e}^{x^2}+C, \forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
Từ (1), (2) suy ra $\forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right], \dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2}+C_1$ (Với $C_1$ là một số nào đó).
Theo giả thiết $f(0)=1 \Rightarrow C_1=0 \Rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2}$.
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}, \forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right] \Rightarrow f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4}{3}$.
Ta có: $f^{\prime}(x)-2 x f(x)=2 x^3 f^2(x) \Leftrightarrow \dfrac{2 x f(x)-f \prime(x)}{f^2(x)}=-2 x^3$
$\Leftrightarrow \dfrac{2 x \cdot \mathrm{e}^{x^2} \cdot f(x)-f \prime(x) \cdot \mathrm{e}^{x^2}}{f^2(x)}=-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \Leftrightarrow\left[\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}\right]^{\prime}=-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2}(1)$.
Xét: $\int-2 x^3 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d} x=-\int x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d}\left(x^2\right)=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \mathrm{e}^{x^2}+C, \forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
Từ (1), (2) suy ra $\forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right], \dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2}+C_1$ (Với $C_1$ là một số nào đó).
Theo giả thiết $f(0)=1 \Rightarrow C_1=0 \Rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{f(x)}=\mathrm{e}^{x^2}-x^2 \cdot \mathrm{e}^{x^2}$.
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}, \forall x \in\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right] \Rightarrow f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4}{3}$.
Đáp án C.
