Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0 ;+\infty)$ và thỏa mãn $f(1)=e$, $f(x)={f}'(x)\cdot \sqrt{3x+1}$, với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $3<f(5)<4$.
B. $11<f(5)<12$.
C. $10<f(5)<11$.
D. $4<f(5)<5$.
A. $3<f(5)<4$.
B. $11<f(5)<12$.
C. $10<f(5)<11$.
D. $4<f(5)<5$.
$\begin{aligned}
& f(x)={{f}^{\prime }}(x)\cdot \sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{\prime }}(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \int{\dfrac{{{f}^{\prime }}(x)}{f(x)}dx=}\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx} \\
& \Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=\int{{{\left( 3x+1 \right)}^{\dfrac{-1}{2}}}dx}\Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C. \\
\end{aligned}$
Do $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0 ;+\infty)$ và thỏa mãn $f(1)=e$, ta có
$\ln f\left( 1 \right)=\dfrac{4}{3}+C\Leftrightarrow C=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{1}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{1}{3}}}$.
$\Rightarrow f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{7}{3}}}\approx 10,3123\Rightarrow 10<f\left( 5 \right)<11.$
& f(x)={{f}^{\prime }}(x)\cdot \sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{\prime }}(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \int{\dfrac{{{f}^{\prime }}(x)}{f(x)}dx=}\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx} \\
& \Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=\int{{{\left( 3x+1 \right)}^{\dfrac{-1}{2}}}dx}\Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C. \\
\end{aligned}$
Do $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0 ;+\infty)$ và thỏa mãn $f(1)=e$, ta có
$\ln f\left( 1 \right)=\dfrac{4}{3}+C\Leftrightarrow C=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{1}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{1}{3}}}$.
$\Rightarrow f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{7}{3}}}\approx 10,3123\Rightarrow 10<f\left( 5 \right)<11.$
Đáp án C.