Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn điều kiện $\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=-2$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay hình $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích $V$ bằng
A. $14 \pi$.
B. $15 \pi$.
C. $12 \pi$.
D. $13 \pi$.
A. $14 \pi$.
B. $15 \pi$.
C. $12 \pi$.
D. $13 \pi$.
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có:
$\begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.{f}'\left( x \right)+\dfrac{2xf\left( x \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-\dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \\
& \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 0 \right)=-2$ nên $-2=-1+C\Leftrightarrow C=-1$. Vậy $f\left( x \right)=-1-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Khi đó: $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Thể tích $V=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}\text{d}x=12\pi $.
$\begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.{f}'\left( x \right)+\dfrac{2xf\left( x \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-\dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \\
& \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 0 \right)=-2$ nên $-2=-1+C\Leftrightarrow C=-1$. Vậy $f\left( x \right)=-1-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Khi đó: $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Thể tích $V=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}\text{d}x=12\pi $.
Đáp án C.