Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện $f\left( 0 \right)=-2$, $\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng $V$ (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $V\in \left( 11;13 \right)$.
B. $V\in \left( 5;9 \right)$.
C. $V\in \left( 15;20 \right)$.
D. $V\in \left( 35;38 \right)$.
A. $V\in \left( 11;13 \right)$.
B. $V\in \left( 5;9 \right)$.
C. $V\in \left( 15;20 \right)$.
D. $V\in \left( 35;38 \right)$.
Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, ta có
$\begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}{f}'\left( x \right)+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right)=-\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 0 \right)=-2$ nên $C=-1$. Suy ra $f\left( x \right)=-1-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{g}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}\text{d}x}=12\pi $.
Vậy $V=12\pi \approx 37,699\in \left( 35;38 \right)$.
$\begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)+xf\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}{f}'\left( x \right)+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right)=-\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 0 \right)=-2$ nên $C=-1$. Suy ra $f\left( x \right)=-1-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{1+f\left( x \right)}=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{g}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( -\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}\text{d}x}=12\pi $.
Vậy $V=12\pi \approx 37,699\in \left( 35;38 \right)$.
Đáp án D.