Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện $f\left( 0 \right)=0$, $\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)-xf\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),$ trục hoành và đường thẳng $x=3$ xấp xỉ giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?
A. $7,0$.
B. $6,3$.
C. $6,7$.
D. $6,0$.
A. $7,0$.
B. $6,3$.
C. $6,7$.
D. $6,0$.
Ta có: $\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)-xf\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x$, $\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{f}'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}f\left( x \right)=-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$ (*).
Vì $f\left( 0 \right)=0$ $\Rightarrow C=1$ ; Thế vào $\left( * \right)$ ta được $f\left( x \right)=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow -\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=0$.
Khi đó $S=\int\limits_{0}^{3}{\left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}=S=\int\limits_{0}^{3}{\left| -\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|\text{d}x}\approx 6,3$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{f}'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}f\left( x \right)=-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f\left( x \right)=-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$ (*).
Vì $f\left( 0 \right)=0$ $\Rightarrow C=1$ ; Thế vào $\left( * \right)$ ta được $f\left( x \right)=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.
Ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow -\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=0$.
Khi đó $S=\int\limits_{0}^{3}{\left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}=S=\int\limits_{0}^{3}{\left| -\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|\text{d}x}\approx 6,3$.
Đáp án B.