Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${f}'(x)+2xf(x)=x,\forall x\in R$. Biết $f(0)=\dfrac{3}{2}$ và $\int\limits_{0}^{1}{(2f(x)-1)xdx=a+\dfrac{b}{e}}$, với a,b là các số hữu tỉ. Khi đó $a+b$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. -1.
C. 1.
D. 0.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. -1.
C. 1.
D. 0.
Nhân 2 vế của $f'(x)+2xf(x)=x$ cho ${{e}^{{{x}^{2}}}}$ ta được ${{e}^{{{x}^{2}}}}f'(x)+2x{{e}^{{{x}^{2}}}}f(x)=x{{e}^{{{x}^{2}}}}$
Do đó
$\begin{aligned}
& {{e}^{{{x}^{2}}}}{f}'(x)+2x{{e}^{{{x}^{2}}}}f(x)=x{{e}^{{{x}^{2}}}}\Rightarrow {{\left( {{e}^{{{x}^{2}}}}f(x) \right)}^{\prime }}=x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\
& \Rightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}f(x)=\int{x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx=\dfrac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}}+C\text{ }(1) \\
\end{aligned}$
Thay $x=0\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ o (1)}$ ta có ${{e}^{0}}.f(0)=\dfrac{1}{2}.{{e}^{0}}+C\Rightarrow C=1$ ta có được $f(x)=\dfrac{1}{2}+{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{(2f(x)-1)xdx=}\int\limits_{0}^{1}{\left( 2(\dfrac{1}{2}+{{e}^{-{{x}^{2}}}})-1 \right)xdx=}\int\limits_{0}^{1}{2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx=}$ $\left. -{{e}^{-{{x}^{2}}}} \right|_{0}^{1}=-\dfrac{1}{e}-\left( -1 \right)=1-\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{-1}{e}$
Do đó $a=1,b=-1$ nên $a+b=0$
Do đó
$\begin{aligned}
& {{e}^{{{x}^{2}}}}{f}'(x)+2x{{e}^{{{x}^{2}}}}f(x)=x{{e}^{{{x}^{2}}}}\Rightarrow {{\left( {{e}^{{{x}^{2}}}}f(x) \right)}^{\prime }}=x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\
& \Rightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}f(x)=\int{x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx=\dfrac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}}+C\text{ }(1) \\
\end{aligned}$
Thay $x=0\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ o (1)}$ ta có ${{e}^{0}}.f(0)=\dfrac{1}{2}.{{e}^{0}}+C\Rightarrow C=1$ ta có được $f(x)=\dfrac{1}{2}+{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{(2f(x)-1)xdx=}\int\limits_{0}^{1}{\left( 2(\dfrac{1}{2}+{{e}^{-{{x}^{2}}}})-1 \right)xdx=}\int\limits_{0}^{1}{2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx=}$ $\left. -{{e}^{-{{x}^{2}}}} \right|_{0}^{1}=-\dfrac{1}{e}-\left( -1 \right)=1-\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{-1}{e}$
Do đó $a=1,b=-1$ nên $a+b=0$
Đáp án D.