Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$...

Xét ${f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left( a\ne 0 \right)$
có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow d=1 \\
& {f}'\left( -1 \right)=-1\Rightarrow -a+b-c+d=-1 \\
& {f}'\left( 1 \right)=3\Rightarrow a+b+c+d=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=1 \\
& -a+b-c=-2 \\
& a+b+c=2 \\
\end{aligned} \right.$
${{f}'}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ có hai nghiệm $x=1,x=-1$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{2b}{3a}=0\Rightarrow b=0 \\
& \dfrac{c}{3a}=-1\Rightarrow c=-3a \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $a-3a=2\Rightarrow a=-1\Rightarrow c=3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x+1$
$\Rightarrow {f}'\left( 2x-1 \right)=-{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}+3\left( 2x-1 \right)+1$
$\Rightarrow {{f}'}'\left( 2x-1 \right)=-6{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+6$
$\Rightarrow {{f}'}'\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-1=1\Leftrightarrow x=1 \\
& 2x-1=-1\Leftrightarrow x=0 \\
\end{aligned} \right.$
$y=f\left( 2x-1 \right)+mx+3\Rightarrow {y}'=2{f}'\left( 2x-1 \right)+m$
$\Rightarrow $ để hàm số $y=f\left( 2x-1 \right)+mx+3$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y={f}'\left( 2x-1 \right)$ cắt đường thẳng $y=-\dfrac{m}{2}$ tại ba điểm phân biệt.
$\Rightarrow -1<-\dfrac{m}{2}<3\Leftrightarrow -6<m<2\Rightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1 \right\}$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thoả đề.