Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

$g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}8x+m \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\text{ 2}\left( x-4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}8x+m \right)$.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x-4=0 \\
{{x}^{2}}8x+m=0 \\
{{x}^{2}}8x+m=-2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x-4=0 \\
{{x}^{2}}8x=-m \\
{{x}^{2}}8x=-2-m \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Để $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}8x+m \right)$ có $5$ điểm cực trị dương khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ có $4$ nghiệm dương phân biệt khác $4$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-8x$ với $x>0$.
Ta có bảng biến thiên của $h\left( x \right)={{x}^{2}}-8x$ :
Để $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ có $4$ nghiệm dương phân biệt khác $4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-m<0 \\
-2-m>-16 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 0<m<14$.
$\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;...;13 \right\}$ nên có tất cả $13$ giá trị tham số $m$.