Bài 4.3 trang 156 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi:

Câu a​

Cho hai dãy số (un​) và (vn​). Biết \(\lim {u_n} =  - \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (vn​) khi \(n \to  + \infty \)?
Phương pháp giải:
Xem lại lý thuyết dãy số tại đây.
Lời giải chi tiết:
Vì \(\lim {u_n} =  - \infty \) nên \(\lim \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).
Do đó, \(\left( { - {u_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.    (1)
Mặt khác, vì \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n nên \(\left( { - {v_n}} \right) \ge \left({ - {u_n}} \right)\) với mọi n.     (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( { - {v_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, \(\lim \left( { - {v_n}} \right) =  + \infty \) hay \(\lim {v_n} =  - \infty \)

Câu b​

Tìm vn​ với \({v_n} =  - n!\)
Phương pháp giải:
Xem lại lý thuyết dãy số tại đây.
Lời giải chi tiết:
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right) =  - n\)
Ta có - n! <  - n hay \({v_n} < {u_n}\) với mọi n.  Mặt khác, \(\lim {u_n} = \lim \left( { - n} \right) =  - \infty \)
Từ kết quả câu a) suy ra \(\lim {v_n} = \lim \left( { - n!} \right) =  - \infty \)