Google
Câu hỏi: Cho biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hữu hạn không ?
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn suy ra điều vô lí.
Lời giải chi tiết
Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn.
Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn suy ra điều vô lí.
Lời giải chi tiết
Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn.
Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.