Bài 4.4 trang 156 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(\displaystyle n \to  + \infty \)

Câu a​

\(\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của các phân thức cho lũy thừa bậc ca nhất của \(n\) rồi sử dụng dãy số có giới hạn \(0\).
Lời giải chi tiết:
\(\lim {a_n} = \lim \dfrac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\) \(= \lim \dfrac{{{n^3}\left( {\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left({1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}\) \(= \dfrac{{0 - 3 + 0}}{{1 + 0}} = \dfrac{{ - 3}}{1} =  - 3\)

Câu b​

\(\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {b_n} = \lim \dfrac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\) \(= \lim \dfrac{{{n^3}\left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left({\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{{3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}}}\) \(=  + \infty \)
(vì \(\lim \left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0\) và \(\lim \left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right) = 0\))

Câu c​

\(\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {c_n} = \lim \dfrac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\) \(= \lim \dfrac{{2{n^2}.\dfrac{1}{{\sqrt n }}}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{{1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}\) \(= \dfrac{0}{{1 + 0 - 0}} = 0\)

Câu d​

\(\displaystyle {u_n} = {2^n} + {1 \over n}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = \lim \left( {{2^n} + \dfrac{1}{n}} \right)\) \(= \lim {2^n} + \lim \dfrac{1}{n} =  + \infty \)
(Vì \(\lim {2^n} =  + \infty ,\lim \dfrac{1}{n} = 0\))

Câu e​

\(\displaystyle {v_n} = {\left( { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn: \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {v_n} = \lim \left[ {{{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)}^n} + \dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}}} \right]\) \(= \lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} + \lim {\left({\dfrac{3}{4}} \right)^n}\) \(= 0 + 0 = 0\).
(vì \(\left| { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right| < 1\) và \(\dfrac{3}{4} < 1\) nên \(\lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} = \lim {\left({\dfrac{3}{4}} \right)^n} = 0\))

Câu f​

\(\displaystyle {u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\) và sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\) \(= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 + \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{2 + {{\left({\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}}\) \(= \dfrac{{0 - 1 + 0}}{{2 + 0}} =  - \dfrac{1}{2}\)

Câu g​

\(\displaystyle {v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1}  - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(n\) suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\lim {v_n}\) \(= \lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} + n - 1}  - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\) \(= \lim \dfrac{{n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - n\sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {1 + \dfrac{3}{n}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{1 + \dfrac{3}{n}}}\) \(= \dfrac{{1 - 2}}{1} =  - 1\).