Google
Câu hỏi: Cho \(z = a + bi \in \mathbb{C}\), biết \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
A. \(a = 0\)
B. \(b = 0\)
C. \(a = b\)
D. \(a = b\) hoặc \(a = - b\)
A. \(a = 0\)
B. \(b = 0\)
C. \(a = b\)
D. \(a = b\) hoặc \(a = - b\)
Phương pháp giải
Tính \(\overline z \) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức \(x + yi\) là số thuần ảo nếu \(x = 0\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overline z = a - bi\)
\(\Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\) \(= \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left({a + bi} \right)}}{{\left({a - bi} \right)\left({a + bi} \right)}}\) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
\(\dfrac{z}{{\overline z }}\) là số thuần ảo nếu và chỉ nếu \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b\).
Tính \(\overline z \) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức \(x + yi\) là số thuần ảo nếu \(x = 0\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overline z = a - bi\)
\(\Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\) \(= \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left({a + bi} \right)}}{{\left({a - bi} \right)\left({a + bi} \right)}}\) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
\(\dfrac{z}{{\overline z }}\) là số thuần ảo nếu và chỉ nếu \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b\).
Đáp án D.