Google
Câu hỏi: Cho \(z \in \mathbb{C}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
B. \(\dfrac{1}{z}\) là thuần ảo \(\Leftrightarrow z\) là thuần ảo
C. \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
D. \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
A. \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
B. \(\dfrac{1}{z}\) là thuần ảo \(\Leftrightarrow z\) là thuần ảo
C. \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
D. \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải
Đặt \(z = a + bi\) và kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.
Lời giải chi tiết
: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Do đó \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z = a \in \mathbb{R}\).
A đúng.
: \(\dfrac{1}{z}\) thuần ảo \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) thuần ảo.
B đúng.
: \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - bi\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
C đúng.
: \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} = {\left| z \right|^2}\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left({{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\) chứ chưa kết luận được \(z \in \mathbb{R}\).
D sai.
Đặt \(z = a + bi\) và kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.
Lời giải chi tiết
: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Do đó \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z = a \in \mathbb{R}\).
A đúng.
: \(\dfrac{1}{z}\) thuần ảo \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) thuần ảo.
B đúng.
: \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - bi\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
C đúng.
: \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} = {\left| z \right|^2}\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left({{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\) chứ chưa kết luận được \(z \in \mathbb{R}\).
D sai.
Đáp án A.