Google
Câu hỏi: Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Phương pháp giải
Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\), chứng minh \(I \in {d_3}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.
Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)
Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,
Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1, d_3\).
\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2, d_3\).
Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.
Ngoài ra
\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left(\beta \right)\\
{d_3} \subset \left(\gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left(\beta \right) \cap \left(\gamma \right) = {d_3}\)
\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow I ∈ (β) = (d_1, d_3)\)
\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2, d_3)\)
Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta) \cap (\gamma)=d_3\).
Cách khác:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)
Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N.
+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)
+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).
Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)
⇒ d3 ⊂ (P)
⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết d1; d2; d3 không đồng phẳng).
⇒ M ≡ N là điểm thuộc cả d1 và d2, d3
Vậy d1; d2; d3 đồng quy.
Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\), chứng minh \(I \in {d_3}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.
Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)
Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,
Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1, d_3\).
\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2, d_3\).
Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.
Ngoài ra
\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left(\beta \right)\\
{d_3} \subset \left(\gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left(\beta \right) \cap \left(\gamma \right) = {d_3}\)
\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow I ∈ (β) = (d_1, d_3)\)
\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2, d_3)\)
Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta) \cap (\gamma)=d_3\).
Cách khác:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)
Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N.
+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)
+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).
Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)
⇒ d3 ⊂ (P)
⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết d1; d2; d3 không đồng phẳng).
⇒ M ≡ N là điểm thuộc cả d1 và d2, d3
Vậy d1; d2; d3 đồng quy.